SUMA DE LOS n PRIMEROS  TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.-

    La expresión nos permite conocer la suma de todos los términos entre dos dados, y por muchos que estos sean, si conocemos el primer término (a₁), el último (a_n) y la razón (r) además del número de términos que intervienen (n), o como muestra la segunda expresión, si conocemos el primer término (a₁) la razón (r) y el número de términos que intervienen (n)

Ejemplo.-
    La suma de los diez primeros términos de la progresión {1; 2; 4; 8;...}, la podemos obtener con el primer término y conociendo la razón (r =2)

S₁₀ = (1 . 2⁹ - 1) / (2 - 1) =  511

S₁₀ = 511

SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.-

    En algunos casos podemos averiguar cual va a ser su valor de una forma sencilla. Según sea el valor de la razón, podemos hablar de tres casos:

• Si  -1 > r >1    ================-1-------0-------1=====================

    Cuando la razón tiene un valor absoluto mayor que la unidad, el resultado de sumar sus infinitos términos, es siempre infinito (∞ ).

Ejemplo.- {3; 9; 27; 81; ...}                3 + 9 + 27 + 81 + ... = ∞

• Si r = -1             ------------------------1--------------------------------------------------

    En este caso cada uno de los términos y el que le sigue, son siempre opuestos, de ahí que la suma tendrá que ser cero (0)

Ejemplo.- {3; -3; 3; -3; ...}                    3 - 3 +  3 - 3 + 3 - 3 + ... = 0        lo podemos expresar  de forma genérica
                {a₁; -a₁; a₁; -a₁; ...}                a₁ -a_{1 +} a₁ -a₁ + a₁ -a_{1 +...} = 0

• Si   -1 < r <1       ------------------------1=====0=====1--------------------------------

    Cuando la razón tiene un valor absoluto menor que la unidad, el resultado lo podemos obtener mediante la expresión que conocemos , que podemos desglosar en dos sumandos, .

    Si consideramos que un valor menor que la unidad (la razón en este caso) al elevarla a las distintas potencias se va haciendo menor, podremos decir que r^∞ = 0, en cuyo caso el primero de los sumandos será también nulo, quedando la expresión:

COMPARANDO.-

• Definiciones

    Es importante que apreciemos la diferencia entre ambos tipos de progresiones, y para hacerlo nada mejor que comparar las definiciones dadas.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA	PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante (d) que llamamos diferencia.	Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior multiplicando poruna cantidad constante (r) que llamamos razón.

    Podemos observar que difieren, como definición, en un par de palabras.

• Series

Números Naturales Aritmética d=1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2Núm. Naturales Geométrica r= 2	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096

Vamos a hacer multiplicaciones "sin multiplicar".

Tomemos dos números de la segunda fila, que deseemos multiplicar    Leamos en la primera fila los números que les corresponden Sumemos estos últimos Localicemos este número en la primera fila, y leeremos el resultado justo debajo.

2 x 8 1    3 4 16

Repite el proceso con otros dos números, p.e. multiplicar 8 x 64 = 512